Как правильно сказать: at the home или at home? This is the cat или This is cat?

Коротко: правильно говорить at home и This is a cat / This is the cat; форма This is cat почти всегда неверна.

Развернуто:

1) «at the home» или «at home»?

• at home — устойчиво: «дома», «у себя дома».
  I’m at home now. — Я дома.
  I stayed at home all day. — Я весь день сидел дома.

• at the home — реже и только когда «home» — конкретное место/учреждение или уже упомянутый «дом».
  He works at the home for the elderly. — Он работает в доме престарелых.
  We arrived at the home of the victim. — Мы приехали в дом (жилище) жертвы.

• Если речь именно о чьём-то жилище, обычно говорят at somebody’s house/home:
  We met at John’s house. — Мы встретились у Джона.

• Смежное правило: go home (без артикля и без to), но go to the house (если про конкретный дом как здание).

2) «This is the cat» или «This is cat»?

• С исчисляемыми существительными в единственном числе нужен определитель (артикль/притяжательное/указательное и т. п.).
  Поэтому:

  • This is a cat. — Это (какая-то) кошка.

  • This is the cat. — Это та самая кошка (о которой уже известно/упоминали).

  • This is my cat. — Это моя кошка.

• This is cat — неправильно в обычном смысле «Это кошка». Без артикля можно только если:

  • Cat — имя собственное: This is Cat. (человека так зовут).

  • cat — неисчисляемое по смыслу (редко, например в жаргоне/метафоре), но в нормальной речи так не говорят.

• Аналогично с It’s: It’s a cat. / It’s the cat. — артикль обязателен, если «cat» — обычное существительное в ед. числе.

Памятка:

• at home — «дома».

• at the home — только про конкретный «дом/дом-учреждение».

• This is a cat — просто одна из кошек.

• This is the cat — конкретная, «та самая».

• This is cat — почти всегда ошибка.