Как у Сергия появилось прозвище Радонежский?

Коротко: это топонимическое прозвище — «из Радонежа».

Будущий святой родился под Ростовом, но в детстве его семья (бояре Кирилл и Мария) переселилась в городок Радонеж под Москвой. Там прошли его юные годы. Уже рядом с Радонежем, в глухом лесу на холме Маковец, он принял монашество с именем Сергий и основал Троицкий монастырь (будущую Троице-Сергиеву лавру). Главный его подвиг, круг ученики и влияние на русскую духовную жизнь были связаны именно с этой местностью. Поэтому в житиях и летописях его стали называть «Сергий Радонежский» — чтобы отличить от других Сергиев и указать место его служения и славы.