Кто победил в идейной схватке между Базаровым и Павлом Кирсановым (роман "Отцы и дети")?

Короткий ответ: окончательной победы не одержал никто.

Развёрнуто:

1. В полемике «на словах» Базаров сильнее. Он умнее, острее, увереннее, быстро вскрывает риторику Павла Петровича как «красивые слова» без практики. Аргументы дворянского либерала оказываются книжными, музейными. Поэтому интеллектуальный раунд за Базаровым: его нигилизм звучит как язык эпохи ломки авторитетов.

2. В «дуэли мировоззрений» у автора — ничья с большим знаком вопроса. Тургнев показывает, что разрушительная энергия Базарова бесплодна: он не умеет строить, не выдерживает испытания любовью, умирает рано и горько — как идея, доведённая до крайности. Павел Петрович тоже обречён: его кодекс чести и «аристократическая поза» не имеют будущего в реальной русской жизни. Оба проекта — тупиковые в чистом виде.

3. Кто же «выиграл» в смысле жизненной правоты? Побеждает не один из спорщиков, а то, что рождается «между» и «после» них: трезвый, трудовой, семейный путь Аркадия и Кати, хозяйственная работа, любовь, мягкий прогресс без поз и без отрицания ради отрицания. История выносит приговор старому дворянству, но и голому нигилизму; перспективу получает умеренное, созидательное начало.

Итог: Базаров «берёт» спор, Павел «берёт» человеческим достоинством, а жизнь снимает их схватку третьим путем. Поэтому говорить о победителе корректно так: в идейной схватке проиграли оба крайних полюса; победила живая, созидательная середина.