(Х-3) (2х 7)>0

Для решения неравенства $(x - 3)(2x + 7) > 0$, давайте пошагово разберемся, как его решить.

1. Найдем корни уравнения:
   Для начала, приравняем левую часть неравенства к нулю, чтобы найти корни:

   $$(x - 3)(2x + 7) = 0$$

   Это произведение будет равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Значит, нужно решить два уравнения:

   $$x - 3 = 0 \quad \text{или} \quad 2x + 7 = 0$$

   Решаем:

   • $x - 3 = 0$ дает $x = 3$

   • $2x + 7 = 0$ дает $x = -\frac{7}{2}$

   Таким образом, корни уравнения — это $x = 3$ и $x = -\frac{7}{2}$.

2. Разбиение числовой оси:
   Корни делят числовую ось на три промежутка:

   • $(-\infty, -\frac{7}{2})$

   • $(-\frac{7}{2}, 3)$

   • $(3, +\infty)$

3. Определим знак выражения на каждом промежутке:
   Для этого проверим знак выражения $(x - 3)(2x + 7)$ на каждом из этих промежутков, подставив любое число из каждого промежутка.

   • Для промежутка $(-\infty, -\frac{7}{2})$, например, подставим $x = -4$:

     $$(x - 3) = -4 - 3 = -7, \quad (2x + 7) = 2(-4) + 7 = -8 + 7 = -1$$

     Произведение двух отрицательных чисел дает положительный результат, значит на этом промежутке выражение положительно.

   • Для промежутка $(-\frac{7}{2}, 3)$, например, подставим $x = 0$:

     $$(x - 3) = 0 - 3 = -3, \quad (2x + 7) = 2(0) + 7 = 7$$

     Произведение отрицательного и положительного числа дает отрицательный результат, значит на этом промежутке выражение отрицательно.

   • Для промежутка $(3, +\infty)$, например, подставим $x = 4$:

     $$(x - 3) = 4 - 3 = 1, \quad (2x + 7) = 2(4) + 7 = 8 + 7 = 15$$

     Произведение двух положительных чисел дает положительный результат, значит на этом промежутке выражение положительно.

4. Ответ:
   Неравенство $(x - 3)(2x + 7) > 0$ выполняется, когда выражение положительно, то есть на промежутках $(-\infty, -\frac{7}{2})$ и $(3, +\infty)$.

   Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty, -\frac{7}{2}) \cup (3, +\infty)$.