К какому падежу относится предлог "через"?

Предлог "через" требует винительного падежа.

Он указывает на направление движения через какое-либо пространство, препятствие или промежуточную точку, а также может обозначать промежуток времени. Примеры:

• Пространственное значение:
  — Мы прошли через лес.
  — Поезд проехал через туннель.
  (Слово "лес", "туннель" — в винительном падеже.)

• Временное значение:
  — Я вернусь через час.
  — Экзамен будет через неделю.
  (Слова "час", "неделя" — в винительном падеже.)

Таким образом, независимо от контекста, предлог "через" всегда используется с винительным падежом.