Какие падежи у слов:по дорожке,по опушке,на пригорок,у старушки?

Разберём каждый из этих словосочетаний по отдельности, определив падеж существительного в каждом случае:

1. По дорожке
   Предлог "по" часто требует дательного падежа, и в данном случае это так. Слово "дорожке" — это форма дательного падежа от слова "дорожка".
   Вопрос: по чём? — по дорожке.

2. По опушке
   Аналогично предыдущему примеру: "опушке" — форма дательного падежа от слова "опушка".
   Вопрос: по чём? — по опушке.

3. На пригорок
   Здесь используется предлог "на", который может сочетаться с винительным или предложным падежом в зависимости от значения. В данном случае "на пригорок" означает движение на возвышенность, то есть направление, а не местоположение. Значит, перед нами винительный падеж слова "пригорок".
   Вопрос: на что? — на пригорок.

4. У старушки
   Предлог "у" всегда требует родительного падежа. Слово "старушки" — это форма родительного падежа от "старушка".
   Вопрос: у кого? — у старушки.

Итог:

• по дорожке — дательный падеж

• по опушке — дательный падеж

• на пригорок — винительный падеж

• у старушки — родительный падеж