Не пишется слитно или раздельно в данном предложении? При поступлении в институт он (не) добрал баллов.

В данном предложении "не" пишется раздельно. Это связано с тем, что слово "добрал" является глаголом, а "не" в таких случаях всегда пишется раздельно. Правильный вариант: "При поступлении в институт он не добрал баллов".

Раздельное написание "не" с глаголами применяется, когда "не" является частицей, а не частью составного глагольного времени или формы.