Какой корень в словах дорОгой и дорогОй

В словах "дорОгой" и "дорогОй" корень один и тот же — "дорог". Это слово происходит от старославянского "дорогъ", что означало "ценный", "важный", "высокий". В этих формах корень не меняется, изменяется только грамматическое оформление слова.

1. ДорОгой — это форма прилагательного в творительном падеже (например, "Он поехал дорогОй дорогой").

2. ДорогОй — форма в nominative падеже или другом падеже, который характеризует прилагательное.