Есть ли корень в словах "мой", "моим"?

В словах "мой" и "моим" корень есть, и он одинаковый — это "мо". Это словообразовательный элемент, который встречается в разных формах, связанных с личными местоимениями, выражающими принадлежность (мой, моя, мои, моим и т. д.).

В слове "мой" корень "мо" в сочетании с суффиксом "й" образует форму притяжательного местоимения в именительном падеже, а в слове "моим" тот же корень "мо" используется в форме дательного или творительного падежа, с добавлением суффикса "им" и окончания.

Таким образом, корень "мо" в этих словах является общим.