Просьба, ко...ьба вставить буквы

Вставляются буквы сь: правильно — просьба, косьба.

Почему так: оба слова образованы от глаголов просить и косить с помощью суффикса -ба. На стыке корня на -с и суффикса -ба пишется мягкий знак — сочетание -сьб-: он сохраняет мягкость звука [с’] перед буквой б. В произношении из-за оглушения/озвончения получается [проз’ба], [коз’ба], но на письме мягкий знак обязателен: просьба, косьба.