1) Распределение по морфеме, где пропущена буква, и объяснение

Корень

• неясный шёпот — шёп-: после шипящих в корне под ударением пишется ё (обозначает звук [о]).

• ветхая одёжонка — одёж-: ё в корне под ударением.

• разжёг огонь — жёг: ё в корне; чередование жечь — жёг.

• серьёзная учёба — серьёз-, учёб-: ё в корнях под ударением.

• скромная причёска — чёс-: ё в корне (чёсать → причёска).

• пластмассовая расчёска — чёс-: ё в корне.

• чётное число — чёт-: ё в корне (чёт/счёт).

• розовощёкий малыш — щёк-: ё в корне (щёка).

• дешёвая бумага — дёш-: ё в корне (дешёвый).

• пшённая каша — пшён-: ё в корне.

• прошлогодние жёлуди — жёлуд-: ё в корне.

• неровный шов — шов-: о в корне (исторически сложившееся написание, не суффикс).

• прислушиваться к шороху — шор-: о в корне (шорох).

Правило: в корнях слов после ж, ч, ш, щ под ударением обычно пишется ё (шёпот, жёлуди, причёска и т. п.). Есть традиционные корни с о (шов, шорох и др.), их пишут по словарю.

Суффикс / окончание

• забавная собачонка — суффикс -онк-: после шипящих в суффиксах под ударением пишется о.

• маленькая шапочка — суффикс -очк-: о в суффиксе.

• горячо спорить / любить горячо — наречный суффикс -о: после ч пишется о.

• сбережёт здоровье — личное окончание 3 л., -ёт: под ударением ё.

• пучок травы — суффикс -ок: под ударением о.

• спелый крыжовник — суффикс -овн-: о в суффиксе.

• с древним летописцем — окончание Т.п. ед. -ем: после ц в окончаниях пишется е.

• испечёшь пирог — личное окончание 2 л. ед., -ёшь: под ударением ё.

• новым абзацем — окончание Т.п. ед. -ем: нормативное е.

• просить умоляюще — суффикс наречия/деепричастного образования -е после щ (умоляюще): после щ пишется е.

• свежей струёй — окончание Т.п. ед. ж.р. -ёй: в форме на -я под ударением пишется -ёй.

Правила вкратце:

• В суффиксах и окончаниях после шипящих под ударением обычно пишется о (шапОчка, собачОнка, -Ок-, -Овн-);

• в личных окончаниях глаголов с ударным окончанием пишется ё (сбережёт, испечёшь);

• у существительных ж.р. на -я в Т.п. ед. под ударением — -ёй (струёй);

• после ц в окончаниях — е (летописцем, абзацем).

2) Именные и глагольные словосочетания

Именные (главное слово — имя: существительное/прилагательное/местоимение)

неясный шёпот; забавная собачонка; маленькая шапочка; ветхая одёжонка; пучок травы; спелый крыжовник; неровный шов; с древним летописцем; серьёзная учёба; скромная причёска; новым абзацем; свежей струёй; чётное число; розовощёкий малыш; пластмассовая расчёска; дешёвая бумага; пшённая каша; прошлогодние жёлуди; к шороху.

Глагольные (главное слово — глагол/деепричастие/инфинитив)

горячо спорить; сбережёт здоровье; разжёг огонь; испечёшь пирог; любить горячо; прислушиваться к шороху; потушить печёнку.