Не было никаких сомнений в звонкой душе Грэя – ни глухих ударов тревоги, ни шума мелких забот. Укажите основу предложения.

Это безличное предложение.
Грамматическая основа: не было (сомнений) — сказуемое «не было», подлежащего нет; «сомнений» — зависимое слово при сказуемом (род. падеж при отрицании). Часть после тире — однородные дополнения («ни глухих ударов тревоги, ни шума мелких забот»), перечисляющие то, чего не было.