Как правильно: построющий или построящий?

Правильный вариант — "построящий". Это деепричастие от глагола "построить", которое образуется с помощью суффикса "-щий". Оно обозначает действие, которое происходит одновременно с другим действием, например: "построящий дом человек".

Слово "построющий" — это ошибочная форма. В русском языке нет деепричастий с суффиксом "-ющий" для глаголов совершенного вида, как в данном случае "построить". Суффикс "-ущий" используется для деепричастий от глаголов несовершенного вида, но таких форм с этим суффиксом также не существует для глагола "построить".