Есть ли разница между словами "зашить" и "зашивать"?

Да, разница есть — в основном видовая (совершенный/несовершенный вид) и, как следствие, в значении “результат” vs “процесс/повторяемость”.

1) “Зашить” — совершенный вид

Зашить означает выполнить действие до результата: дырка/разрез будет закрыт, шов сделан, работа закончена.

Типичные оттенки:

• однократность: сделал(а) один раз;

• завершённость: есть итог;

• ответ на вопрос “что сделать?”

Примеры:

• Я зашил дырку на куртке. (теперь дырки нет)

• Надо зашить разошедшийся шов. (сделать так, чтобы снова держалось)

• Врач зашил рану. (рана закрыта швом)

2) “Зашивать” — несовершенный вид

Зашивать означает:

1. либо действие в процессе (ещё не факт, что уже завершено),

2. либо действие повторяющееся/обычное,

3. либо действие длительное (занимает время, делается “по ходу”).

Это ответ на вопрос “что делать?”.

Примеры:

• Я зашиваю дырку — подожди пару минут. (процесс идёт)

• По вечерам она зашивает одежду детям. (регулярно, привычно)

• Сестра зашивала рану, когда привезли пациента. (длительное действие в прошлом)

3) Временные формы и смысл

Часто разница хорошо видна на времени:

• Зашил → “уже готово”
  Я зашил пуговицу. (пуговица пришита, дело сделано)

• Зашиваю → “делаю сейчас”
  Я зашиваю пуговицу. (в процессе)

• Зашивал → “делал (какое-то время), возможно, без акцента на итог”
  Я зашивал дырку весь вечер. (важно, что возился/делал долго; итог может подразумеваться, но не выделяется)

4) В каких ситуациях что естественнее

• Если важно, что проблема устранена → обычно “зашить”:
  Зашить разрыв, зашить дырку, зашить рану.

• Если важно, что работа идёт или это обычное занятие → обычно “зашивать”:
  Сижу, зашиваю; она часто зашивает; он зашивал долго.

5) Дополнительное значение “зашить” (разговорное)

У “зашить” есть ещё разговорное значение: “вшить внутрь (куда-то), спрятать, заделать так, чтобы внутри оказалось”.
Например: “зашить деньги в подкладку” — не просто чинить, а вшить внутрь.

У “зашивать” это значение тоже возможно, но снова с акцентом на процесс:
“Он зашивал документы в подкладку” (занимался этим).

Итого:

• зашить — “сделать и закончить, получить результат”;

• зашивать — “делать (сейчас/долго/регулярно), процесс или повторяемость”.