Докажите, что слова "вязать" и "вязкий" не являются однокоренными.

Чтобы доказать, что слова «вязать» и «вязкий» не являются однокоренными, нужно показать, что у них разные корни, то есть они восходят к разным исходным значениям и образуют разные словообразовательные гнёзда (семьи слов). В русском языке внешнее совпадение букв вяз- ещё не означает общий корень: корень определяется не “на глаз”, а по общему смыслу и системе родственных слов.

1) Сравним значения слов

«Вязать»

Вязать — это действие: соединять, переплетать, связывать нитями, верёвкой и т. п.
Примеры: вязать шарф, вязать узел, вязать сети.

Смысл здесь — делать связь, переплетение, соединение.

«Вязкий»

Вязкий — это признак вещества: густой, тягучий, липковатый, медленно текущий (например: вязкая смола, вязкая жидкость).

Смысл здесь — тягучесть, густота, сопротивление течению/движению.

Уже по значениям видно: одно слово про переплетение/связывание, другое — про свойство вещества.

2) Проверим “родственников”: разные словообразовательные гнёзда

Гнездо слова «вязать»

Если корень общий, у слов должны быть общие “родственники” с тем же смысловым ядром. У «вязать» это легко видно:

• связать, связывать

• вязка (в значении “связка”, “охапка”, “пучок”)

• вязание, вязальщик, вязальный

• перевязать, обвязать, увязать (в значении “привязать/связать”, “соединить”)

Здесь всё вращается вокруг идеи связывания, соединения, переплетения.

Гнездо слова «вязкий»

У «вязкий» свой круг:

• вязкость

• вязковатый

• вязко (наречие)

• (по смыслу рядом: тягучий, густой — но это уже синонимы, не однокоренные)

Здесь смысловое ядро — тягучесть/густота.

Важно: слова типа «вязать шарф» и «вязкая смола» не образуют общих производных, где сохранялось бы одно и то же значение корня. Это признак того, что словообразовательные гнёзда не совпадают.

3) Морфемный разбор не решает вопрос сам по себе, но помогает увидеть расхождение

Формально оба слова имеют видимую общую часть «вяз-», но корень в русском определяется не только графически, а семантически и исторически.

• вяз-ать — корень связан со значением «связывать/переплетать».

• вяз-к-ий — корень связан со значением «тягучий/густой», суффикс -к-, окончание -ий.

Если бы это был один корень, мы ожидали бы перехода смысла от “связывать” к “тягучий” через понятные промежуточные значения и общие производные. Но такого перехода в языке нет: “вязкий” не значит “такой, который вяжет (связывает)” и не употребляется в этом смысле.

4) Логический тест на “общий смысл корня”

Попробуем подставить смысл одного слова в другое:

• Если бы «вязкий» был родственным «вязать», то “вязкий” должен был бы означать что-то вроде «способный вязать/связывать» или «связанный».
  Но «вязкий» означает “тягучий, густой”, и это никак не связано с действием “вязать”.

• Если бы «вязать» было родственным «вязкий», то “вязать” должно было бы иметь значение типа “делать вязким” или “становиться тягучим”.
  Но «вязать» означает “переплетать, связывать” и не имеет отношения к тягучести.

То есть смысловые ядра не совпадают — значит, корни разные.

Вывод

Слова «вязать» и «вязкий» не являются однокоренными, потому что:

1. у них разные лексические значения (действие “связывать” и признак “тягучий”);

2. они входят в разные словообразовательные гнёзда и не имеют общего набора родственных слов;

3. совпадение части вяз- носит внешний (графический) характер и не подтверждается общим смыслом корня.

Следовательно, это разнокоренные слова, а их сходство — лишь совпадение звучания/написания части основы.