Глаголы с приставками из-, ис-, вос-, воз-, бес-, без-, например, рассмеяться.

Речь о группе глаголов с приставками из-/ис-, вос-/воз-, бес-/без- (и по смыслу близких к ним), у которых есть две формы приставки. Выбор формы зависит не от смысла, а от первого звука корня: дальше идёт звонкий или глухой согласный. Это обычное уподобление по звонкости/глухости на стыке приставки и корня.

1) Главное правило: З / С по звонкости следующего согласного

Если после приставки стоит звонкий согласный (б, в, г, д, ж, з, л, м, н, р, й), пишется -з-:

• избрать, издавать, воздвигнуть, безвкусный (не глагол, но правило то же), вос? — нет, будет воз-, если дальше звонкий: воззвать (звонкий)

Если после приставки стоит глухой согласный (п, ф, к, т, ш, с, х, ц, ч, щ), пишется -с-:

• испугаться, искать, истереть, воспитать, воскликнуть, беспокоиться, бесшуметь.

То есть:

• из- → ис-

• воз- → вос-

• без- → бес-

Смысл при этом обычно не меняется — меняется только написание для благозвучия/произношения.

2) Как “быстро проверить”

1. Найдите, с какого согласного начинается корень (первая согласная после приставки).

2. Если она звонкая — пишем з: из-, воз-, без-

3. Если она глухая — пишем с: ис-, вос-, бес-

Примеры “парами”:

• избить — испортить

• воздвигнуть — восстановить

• безвредить (в знач. “обезвредить”/“сделать безопасным”) — беспокоить

3) Про пример “рассмеяться”

Ваш пример «рассмеяться» — это другая история: тут приставка рас- (вариант раз-/рас-).
У приставок раз-/рас- правило такое же (з/с по звонкости), только в паре раз- пишется перед звонкими, рас- — перед глухими:

• разбудить (б — звонкая)

• рассказать (с — глухая), рассмеяться (с — глухая)

То есть “рассмеяться” похоже по механике (уподобление), но приставка не из списка из-/ис-, вос-/воз-, бес-/без-, а из пары раз-/рас-.

4) Частые ошибки, на которые стоит обратить внимание

а) “бес-” не бывает перед гласной

Если после приставки сразу гласная, обычно пишут без-:

• безоружный, безынициативный (тут ещё и правило с “ы” после приставки).
  Форма бес- появляется именно перед глухими согласными: бес-полезный, бес-крайний, бес-страшный.

б) “ис-” перед гласной — это не про “ис-/из-”

“ис-” как вариант “из-” появляется перед глухими согласными (испугаться, иссечь, исчерпать — там дальше согласные).
Перед гласной чаще будет из-: изобразить, изумиться (здесь после приставки гласная, а не глухой согласный).

в) Удвоенные согласные на стыке

Иногда получается двойная буква, потому что приставка заканчивается на тот же согласный, с которого начинается корень:

• ис + сушить → иссушить

• вос + создать → воссоздать

• рас + смеяться → рассмеяться
  Это нормально: одна “с” от приставки, другая — от корня.

5) Мини-набор примеров по каждой паре (именно глаголы)

из-/ис-:

• издать, избрать, излечить — испортить, испугаться, иссушить

воз-/вос-:

• воздвигнуть, воззвать, возместить — восстановить, воспитать, воскликнуть, воспламенить

без-/бес- (глаголы встречаются реже, но есть):

• бездействовать (д — звонкая) — бесчинствовать (ч — глухая), беспокоиться (п — глухая)

Итого: у этих приставок ключевое — какой согласный идёт дальше: звонкий → з, глухой → с.