На терпящем бедствие корабле царит удивительный порядок: сеявшие панику утихомирились, отчаявшиеся было взяли себя в руки и стали помогать строящим плоты, верящие в чудесное избавление молятся, надеющиеся на помощь проходящих судов жгут сигнальные огни, женщины утешают плачущих детей, капитан, принявший все необходимые меры и видящий слаженные действия экипажа и пассажиров, не сомневается в успехе.

В предложении описывается ситуация на корабле, который терпит бедствие. Главное сообщение такое: на корабле царит удивительный порядок. После двоеточия раскрывается, в чём именно этот порядок проявляется.

Грамматическая основа первой части:

порядок царит.

Далее после двоеточия идёт перечисление действий разных групп людей:

сеявшие панику утихомирились;
отчаявшиеся было взяли себя в руки и стали помогать;
верящие в чудесное избавление молятся;
надеющиеся на помощь проходящих судов жгут сигнальные огни;
женщины утешают детей;
капитан не сомневается в успехе.

Двоеточие ставится потому, что вторая часть поясняет первую: сначала сказано обобщённо, что на корабле «царит удивительный порядок», а потом перечисляется, в чём этот порядок выражается.

Запятые между частями после двоеточия ставятся потому, что идёт перечисление однородных по смыслу ситуаций: одни утихомирились, другие помогают, третьи молятся, четвёртые жгут огни и так далее.

В предложении много причастий и причастных оборотов.

Терпящем бедствие — причастный оборот при слове корабле. Он стоит перед определяемым словом, поэтому не обособляется:
на терпящем бедствие корабле.

Сеявшие панику — причастный оборот, употреблённый как существительное: речь о людях, которые сеяли панику. Поэтому он является подлежащим:
сеявшие панику утихомирились.

Отчаявшиеся было — тоже причастие, перешедшее в существительное: имеются в виду люди, которые уже было отчаялись. Оно является подлежащим:
отчаявшиеся было взяли себя в руки.

Строящим плоты — причастный оборот, также употреблённый как существительное: тем, кто строит плоты. Здесь он зависит от слова помогать:
стали помогать строящим плоты.

Верящие в чудесное избавление — причастный оборот в роли существительного: люди, которые верят в чудесное избавление. Это подлежащее:
верящие в чудесное избавление молятся.

Надеющиеся на помощь проходящих судов — причастный оборот в роли существительного: люди, которые надеются на помощь проходящих судов. Это подлежащее:
надеющиеся на помощь проходящих судов жгут сигнальные огни.

Проходящих судов — причастие при слове судов. Оно стоит перед определяемым словом, поэтому не обособляется.

Плачущих детей — причастие при слове детей. Оно также стоит перед определяемым словом и не обособляется:
женщины утешают плачущих детей.

Принявший все необходимые меры и видящий слаженные действия экипажа и пассажиров — два однородных причастных оборота при слове капитан. Они стоят после определяемого слова, поэтому обособляются запятыми:
капитан, принявший все необходимые меры и видящий слаженные действия экипажа и пассажиров, не сомневается в успехе.

Итак, предложение сложное, бессоюзное. Первая часть содержит обобщение, а вторая часть поясняет его через подробное перечисление. Главная особенность предложения — активное использование причастий, многие из которых употреблены в значении существительных: сеявшие, отчаявшиеся, строящие, верящие, надеющиеся.