Родная сторона – мать, а чужая – мачеха. Что является подлежащим, а что сказуемым?

В предложении «Родная сторона – мать, а чужая – мачеха» две грамматические основы, потому что это сложное бессоюзное/сложносочинённое по смыслу предложение с противопоставлением.

Первая часть: «Родная сторона – мать».

Здесь подлежащее — сторона. Слово родная является определением к подлежащему.
Сказуемое — мать. Это именное сказуемое, выраженное существительным в именительном падеже.

Вторая часть: «а чужая – мачеха».

Здесь пропущено слово сторона, оно восстанавливается из первой части: «а чужая сторона – мачеха». Поэтому подлежащее — сторона, а слово чужая является определением.
Сказуемое — мачеха, тоже именное сказуемое, выраженное существительным в именительном падеже.

Итак:

Родная сторона — подлежащее с определением, мать — сказуемое.
Чужая сторона — подлежащее с определением, мачеха — сказуемое.

Тире ставится между подлежащим и сказуемым, потому что оба главных члена выражены существительными в именительном падеже: сторона — мать, сторона — мачеха.