Сколько бы я ни встречался со своими читателями, непременно кто-нибудь да спросит, почему я пишу о природе. Почему тут пишется "ни"? Объясните.

Здесь пишется «ни», потому что это часть устойчивой уступительной конструкции «сколько бы ни…».

Предложение:

Сколько бы я ни встречался со своими читателями, непременно кто-нибудь да спросит, почему я пишу о природе.

Смысл такой: как бы часто я ни встречался со своими читателями, каждый раз всё равно кто-нибудь спрашивает…

То есть первая часть предложения выражает уступку: допускается любое количество встреч — много, мало, сколько угодно, — но результат остаётся одним и тем же: обязательно кто-нибудь задаёт этот вопрос.

В таких придаточных уступительных предложениях с частицей бы пишется именно ни:

сколько бы ни…
как бы ни…
где бы ни…
кто бы ни…
что бы ни…

Например:

Сколько бы он ни старался, у него не получалось.
Значит: как бы много он ни старался, всё равно не получалось.

Где бы я ни был, я всегда вспоминаю дом.
Значит: в любом месте, где я был, я вспоминаю дом.

Кто бы ни пришёл, всех встречали радушно.
Значит: любой пришедший был встречен радушно.

В вашем примере «сколько бы я ни встречался» не означает отрицания. Здесь ни не отрицает сам факт встреч. Наоборот, говорящий встречался с читателями много раз. Частица ни усиливает значение обобщения: при любом количестве встреч, всякий раз, сколько угодно раз.

Если бы написать «не», получилось бы другое значение или грамматически неудачная фраза. Частица не обычно выражает прямое отрицание:

Я не встречался с читателями.
То есть встреч не было.

А в конструкции «сколько бы ни встречался» отрицания нет. Есть значение: несмотря на то что встречался много раз / сколько угодно раз.

Можно проверить заменой:

Сколько бы я ни встречался со своими читателями…
= Как бы часто я ни встречался со своими читателями…
= При любом количестве встреч с читателями…

Поэтому правильно: «Сколько бы я ни встречался…», потому что это уступительно-обобщительная конструкция с частицей ни, а не отрицание с частицей не.