Как проверить слово «именинник»?

Слово «именинник» проверить подбором проверочного слова нельзя, потому что в нём нет такой орфограммы, где безударную гласную можно было бы поставить под ударение с помощью родственного слова.

Правильное написание: именинник.

Это слово образовано от существительного именины. В слове именины пишется буква е, поэтому и в слове именинник сохраняется это написание: именины — именинник.

Особое внимание нужно обратить на две буквы н. Они пишутся потому, что слово образовано от основы именин- при помощи суффикса -ник:

именин- + -ник = именинник

На стыке основы и суффикса получается сочетание нн: одна н входит в основу слова, другая — в суффикс.

Итак, запомнить можно так:
именины → именинник, пишется через е и с двумя н.