Какой знак препинания поставить: тире или двоеточие? «Работа у него не шла (?): было неинтересно и как-то всё равно». Это следствие или причина?

Здесь нужно поставить двоеточие:

Работа у него не шла: было неинтересно и как-то всё равно.

Это причина, а не следствие. Вторая часть отвечает на вопрос почему работа не шла? — потому что ему было неинтересно и безразлично.

Тире обычно ставят, когда вторая часть выражает следствие, вывод, результат:

Было неинтересно и как-то всё равно — работа у него не шла.

В вашем варианте логика именно такая:
работа не шла, потому что было неинтересно и всё равно, поэтому правильнее двоеточие.