Объясните написание орфограмм в словах: «выдумывание» (почему «ы»), «не умеют» (почему раздельно), «рассказывают» (почему две «с»), «свежо» (почему на конце «о»), «по-иному» (почему через дефис), «сложился» (почему «о»), «посёлке» (почему на конце «е»), «уходят» (почему «я»), «тяжёлое» (почему «е»), «завещанное» (почему написана вторая «а»).

Разберём каждое слово по правилу.

1. Выдумывание — почему «ы»?
   Слово образовано от глагола выдумывать: вы-дум-ыва-ние. Здесь пишется суффикс -ыва-. Проверить его можно по форме 1-го лица единственного числа: я выдумываю. Если глагол в этой форме оканчивается на -ываю / -иваю, то в неопределённой форме и образованных от неё словах сохраняется суффикс -ыва- / -ива-: выдумываю → выдумывать → выдумывание.

2. Не умеют — почему раздельно?
   Умеют — глагол. Частица не с глаголами обычно пишется раздельно: не умеют, не знают, не говорят. Слитное написание бывает в отдельных словах, которые без не не употребляются или приобрели особое значение, например ненавидеть, недоумевать. Глагол уметь существует самостоятельно, поэтому правильно: не умеют.

3. Рассказывают — почему две «с»?
   В слове встречаются приставка и корень: рас-сказ-ыва-ют. Приставка рас- оканчивается на с, а корень -сказ- начинается с с. На стыке морфем обе буквы сохраняются, поэтому пишется сс: рассказывают. Сравним: рассказать, рассказ, рассказывать.

4. Свежо — почему на конце «о»?
   Если свежо является наречием или словом категории состояния, на конце после шипящей ж под ударением пишется о: свежо́. Сравним: горячо́, хорошо́, свежо́. Если же это краткое прилагательное среднего рода, например утро свежо, то -о является окончанием формы среднего рода: свеж — свежа — свежо.

5. По-иному — почему через дефис?
   Это наречие, образованное от местоименного прилагательного иной с помощью приставки по- и суффикса -ому. Наречия с по-, оканчивающиеся на -ому, -ему, -ски, -цки, -ьи, пишутся через дефис: по-иному, по-новому, по-прежнему, по-русски, по-волчьи.

6. Сложился — почему «о»?
   Здесь действует правило о чередующихся корнях -лаг- / -лож-. Перед г пишется а: полагать, предлагать, а перед ж — о: положить, сложить, приложить. В слове сложился корень -лож-, поэтому пишется о.

7. Посёлке — почему на конце «е»?
   В сочетании типа в посёлке, о посёлке существительное посёлок стоит в предложном падеже единственного числа. Это существительное второго склонения, а в предложном падеже оно получает окончание -е: посёлок — в посёлке, город — в городе, дом — о доме. Поэтому правильно: посёлке.

8. Уходят — почему «я»?
   Начальная форма — уходить. Это глагол II спряжения, так как он оканчивается на -ить и не относится к исключениям. У глаголов II спряжения в 3-м лице множественного числа пишутся окончания -ат / -ят: они говорят, видят, уходят. Поэтому: уходят.

9. Тяжёлое — почему «е»?
   Тяжёлое — форма прилагательного тяжёлый среднего рода, единственного числа: тяжёлое испытание, тяжёлое пальто. У прилагательных с твёрдой основой в этой форме пишется окончание -ое: новое, большое, тяжёлое. Поэтому последняя буква в окончании — е.

10. Завещанное — почему написана вторая «а»?
    Слово образовано от глагола завещать: завеща-ть → завеща-нн-ый → завещанное. Перед суффиксом причастия -нн- сохраняется глагольный суффикс -а-, который есть в неопределённой форме завещать. Поэтому пишется завещанный, а не завещенный. Сравним: прочитать → прочитанный, обещать → обещанный, завещать → завещанный.

1. Выдумывание — пишется «ы».
   Слово образовано от глагола выдумывать. В нём есть суффикс -ыва-: вы-дум-ыва-ть → вы-дум-ыва-ни-е. Этот же суффикс сохраняется в существительном выдумывание, поэтому после корня пишется ы. Проверить можно формой 1-го лица: я выдумываю — сочетание -ыва- сохраняется.

2. Не умеют — «не» пишется раздельно.
   Умеют — глагол. По общему правилу частица не с глаголами пишется раздельно: не умеют, не знают, не говорят. Слитное написание бывает в отдельных случаях, когда слово без не не употребляется или имеет особое значение, например: ненавидеть, недоумевать. Глагол уметь существует самостоятельно, поэтому правильно: не умеют.

3. Рассказывают — пишутся две «с».
   В слове соединяются приставка рас- и корень -сказ-: рас-сказ-ыва-ют. Одна буква с относится к приставке рас-, а вторая — к корню сказ-. Поэтому на стыке приставки и корня получается сс: рассказывают. Сравните: рассказать, рассказ, рассказчик.

4. Свежо — на конце пишется «о».
   Свежо — наречие, образованное от прилагательного свежий при помощи суффикса -о. Кроме того, действует правило о написании о/е после шипящих на конце наречий: под ударением пишется о. В слове свежо́ окончание ударное, поэтому пишется о. Сравните: горячо́, хорошо́.

5. По-иному — пишется через дефис.
   Это наречие образовано с помощью приставки по- и формы на -ому: по-иному. Наречия с приставкой по-, оканчивающиеся на -ому, -ему, -ски, -цки, -ьи, пишутся через дефис: по-новому, по-прежнему, по-русски, по-волчьи. Поэтому правильно: по-иному.

6. Сложился — в корне пишется «о».
   Здесь корень с чередованием -лаг-/-лож-. Перед г пишется а: полагать, слагать, а перед ж — о: положить, сложить, сложился. В слове сложился в корне стоит ж, поэтому пишется о: с-лож-и-л-ся.

7. Посёлке — на конце пишется «е».
   Существительное посёлок относится ко 2-му склонению. В предложном падеже единственного числа оно имеет окончание -е: о посёлке, в посёлке. Поэтому пишется посёлке, а не «посёлки» или «посёлку».

8. Уходят — пишется «я».
   Начальная форма — уходить. Это глагол II спряжения, а у глаголов II спряжения в форме 3-го лица множественного числа пишутся окончания -ат/-ят: они говорят, видят, уходят. Поэтому: они уходят, окончание -ят.

9. Тяжёлое — на конце пишется «е».
   Тяжёлое — имя прилагательное в форме среднего рода единственного числа: тяжёлое облако, тяжёлое испытание. Прилагательные такого типа в среднем роде имеют окончание -ое: большое, молодое, тяжёлое. Поэтому последняя буква в слове — е.

10. Завещанное — вторая «а» пишется потому, что она сохраняется от глагола «завещать».
    Причастие завещанное образовано от глагола завещать. Основа глагола — завеща-. При образовании страдательного причастия прошедшего времени к этой основе присоединяется суффикс -нн-: завеща-ть → завеща-нн-ый → завещанное. Поэтому буква а перед нн сохраняется: завещанное.