как правильно они борЮтся или они борЯтся

Правильный вариант — «они борЮтся».

Глагол «бороться» в настоящем времени спрягается следующим образом:

• я борЮсь

• ты бОрешься

• он/она/оно бОрется

• мы бОремся

• вы бОретесь

• они борЮтся

Форма «борЯтся» является грамматически неправильной и не соответствует нормам русского языка. Это ошибка, которая может возникнуть из-за неправильного представления о спряжении глагола или путаницы с другими глаголами, имеющими похожие окончания.

Таким образом, правильно говорить и писать: «они борЮтся за свои права», «они борЮтся с трудностями» и т.п.