Про какое животное можно сказать, что оно вылезает из кожи вон?

Так можно сказать про змею.

У змей есть процесс линьки: они периодически сбрасывают старую кожу целиком, потому что она не растёт вместе с телом. Перед линькой кожа тускнеет, глаза могут стать мутными, а потом змея начинает «снимать» её, цепляясь мордой и телом за ветки, камни или другие неровности и буквально выползает из старой кожи, оставляя после себя цельную «чулком» оболочку.

Поэтому выражение «вылезает из кожи вон» здесь можно понимать почти буквально — змея действительно вылезает из своей старой кожи.