Старшеклассники заполняли анкету с вопросами об экзаменах по выбору. Оказалось, что выбрали они информатику, физику и обществознание. В классе 38 учеников. Обществознание выбрал 21 ученик, причем трое из них выбрали еще и информатику, а шестеро-еще и физику. Один ученик выбрал все три предмета. Всего информатику выбрали 13 учеников, пятеро из которых указали в анкете два предмета. Надо определить, сколько же учеников выбрали физику.

Для того чтобы решить задачу, давайте внимательно разберёмся с имеющимися данными и разложим информацию по шагам, чтобы затем использовать метод пересечений множеств.

Дано:

1. В классе всего 38 учеников.
2. Обществознание выбрали 21 ученик.
3. Из этих 21 учеников:
   • 3 выбрали и обществознание, и информатику,
   • 6 выбрали и обществознание, и физику.
4. Один ученик выбрал все три предмета (информатику, физику и обществознание).
5. Информатику выбрали 13 учеников, из которых 5 выбрали два предмета.
6. Требуется узнать, сколько учеников выбрали физику.

Обозначим:

• $A$ — множество учеников, выбравших информатику.
• $B$ — множество учеников, выбравших физику.
• $C$ — множество учеников, выбравших обществознание.

Итак, из условия задачи известно следующее:

• $|C| = 21$ — количество учеников, выбравших обществознание.
• Один ученик выбрал все три предмета. Обозначим это пересечение как $A \cap B \cap C$.
• $|A| = 13$ — количество учеников, выбравших информатику.
• Три ученика выбрали и обществознание, и информатику ($A \cap C$), включая того, кто выбрал все три предмета.
• Шесть учеников выбрали и обществознание, и физику ($B \cap C$), включая того, кто выбрал все три предмета.
• Пять учеников выбрали два предмета среди тех, кто выбрал информатику.

Шаг 1: Разберёмся с информатикой.

Из 13 учеников, выбравших информатику, пятеро выбрали два предмета, а именно:

• $3$ — информатику и обществознание ($A \cap C$),
• $x$ — информатику и физику ($A \cap B$).

Мы знаем, что среди тех, кто выбрал все три предмета, был один ученик. Значит, остальные из этих трёх учеников, выбравших два предмета, не выбрали всех трёх. Это даёт нам:

• $|A \cap C| = 3$ (с учётом одного, кто выбрал все три),
• $|A \cap B| = x + 1$, где $x$ — те, кто выбрал только два предмета (информатику и физику).

Значит, те, кто выбрал только информатику (и никакие другие предметы), составляют:

$|A| - |A \cap C| - |A \cap B| = 13 - 3 - (x + 1) = 9 - x$

Шаг 2: Рассмотрим физику.

Из учеников, выбравших обществознание (21 человек), шестеро также выбрали физику ($B \cap C$), включая одного, который выбрал все три предмета.

Мы знаем, что:

• $|B \cap C| = 6$,
• $|A \cap B \cap C| = 1$,
• И количество учеников, выбравших только физику, нам нужно найти.

Общее количество учеников, выбравших физику, обозначим как $|B|$.

Теперь давайте составим систему уравнений для количества учеников, учитывая общую численность класса — 38 человек:

• $|A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| = 38$.

Подставим известные значения:

Упрощаем выражение:

Получаем уравнение:

Отсюда:

Шаг 3: Используем информацию о пяти учениках, выбравших два предмета.

Мы знаем, что пятеро учеников выбрали два предмета, и это пересечение множеств информатики с физикой и обществознанием:

• $|A \cap B| + |A \cap C| = 5$,
• $x + 1 + 2 = 5$,
• $x = 2$.

Шаг 4: Подставляем значение $x = 2$ в уравнение для физики:

Значит, физику выбрали 6 учеников.

Таким образом, ответ: 6 учеников выбрали физику.