1. Actors may learn a lot of dialogues by heart. 2. Your glass is empty. Must I refill it? 3. Would I introduce Mr. Brown to you? 4. My sister can to play a few musical instruments. 5. Some years ago I didn’t can speak English.

Actors may learn a lot of dialogues by heart.
Это предложение грамматически правильное. В нем используется модальный глагол "may", который указывает на возможность действия. "Learn a lot of dialogues by heart" означает "выучить много диалогов наизусть". В целом, это корректное выражение.

Your glass is empty. Must I refill it?
Это предложение тоже грамматически верно, но оно звучит несколько формально и редко используется в повседневной речи. Вместо "Must I refill it?" можно было бы сказать "Should I refill it?" или "Do you want me to refill it?", что звучит более естественно. "Must" в этом контексте подразумевает необходимость или обязательство.

Would I introduce Mr. Brown to you?
Это предложение является грамматически неправильным. Правильный вариант: "Should I introduce Mr. Brown to you?" или "Shall I introduce Mr. Brown to you?". В вопросах с модальными глаголами для предложения действия нужно использовать "should" или "shall", а не "would", которое чаще используется для выражения вежливой просьбы или гипотетических ситуаций.

My sister can to play a few musical instruments.
Это предложение содержит ошибку. После модального глагола "can" не используется инфинитив с частицей "to". Правильный вариант: "My sister can play a few musical instruments."

Some years ago I didn’t can speak English.
Это предложение тоже содержит ошибку. В отрицательных предложениях с модальными глаголами "can" используется форма "could" (для прошедшего времени). Правильный вариант: "Some years ago I couldn’t speak English."