В каких случаях пишется doesn't, а в каких don't?

Коротко: doesn’t (= does not) употребляется с 3-лицом ед. числа в Present Simple; don’t (= do not) — со всеми остальными лицами и числами в Present Simple.

Когда пишется doesn’t

• he / she / it:
  He doesn’t like coffee.
  She doesn’t drive.
  It doesn’t work.

• Единственное число / неисчисляемые существительные:
  The company doesn’t hire interns.
  Milk doesn’t taste good when warm.

• Единственные неопределённые местоимения (everyone, someone, nobody, each и т. п.):
  Everyone doesn’t agree (лучше: Not everyone agrees по смыслу).
  Nobody doesn’t… — так не говорят: двойное отрицание, стандартно Nobody agrees / No one agrees.

• Коллективные существительные: в американском варианте чаще как единственное — The team doesn’t, в британском допустимо и множественное — The team don’t.

Когда пишется don’t

• I / you / we / they:
  I don’t know.
  You don’t understand.
  We don’t have time.
  They don’t live here.

• Множественное число:
  The students don’t study on weekends.
  My parents don’t travel much.

• Единственное “they” (нейтральное к роду):
  Taylor said they don’t want it.

Важные оговорки

• Be, have, модальные: с be и модальными (can, will, must и т. д.) do-вспомогательное не нужно.
  Правильно: He isn’t ready, She can’t swim, We haven’t any time (брит.) / We don’t have any time (амер.).
  Ошибочно: He doesn’t be, She doesn’t can.

• Глагол have:
  В отрицании в американском обычно don’t/doesn’t have: He doesn’t have a car.
  В британском разговорном возможны обе модели; с владением нередко: He hasn’t got a car.

• Диалектное “he don’t / she don’t” встречается в разговорной речи некоторых регионов, но в стандарте считается ошибкой.

Памятка

• 3 л., ед. ч. → doesn’t + V (без -s): She doesn’t like (а не likes).

• Остальные → don’t + V (без -s): They don’t like.

• С be и модальными — без don’t/doesn’t: She isn’t, They can’t.

Этого достаточно, чтобы в 99% случаев не путать doesn’t и don’t.