I found this book (off / by / with) chance when I was tidying the apartment.

Правильный вариант: by chance.

Полное предложение:

I found this book by chance when I was tidying the apartment.

Значение: «Я случайно нашёл эту книгу, когда убирался в квартире».

By chance = accidentally, without planning — «случайно», «неожиданно».

Другие варианты здесь не подходят:

off chance обычно употребляется в выражении on the off chance that..., то есть «на случай, если вдруг...»:

I called him on the off chance that he was home.
«Я позвонил ему на всякий случай, вдруг он дома».

with chance в таком значении не используется.

Итак, правильный ответ:

I found this book by chance when I was tidying the apartment.