Fill in articles where necessary: My paternal grandfather was ... market gardener in ... Lincolnshire.

Правильный вариант:

My paternal grandfather was a market gardener in Lincolnshire.

Объяснение:

Перед market gardener нужен неопределённый артикль a, потому что это существительное в единственном числе, обозначающее профессию/род занятий: a market gardener — «садовод-огородник, выращивающий продукцию на продажу».

Перед Lincolnshire артикль не нужен, потому что это название графства в Англии. Географические названия такого типа обычно употребляются без артикля: in Lincolnshire, in Yorkshire, in Devon.

Итак:

My paternal grandfather was a market gardener in Lincolnshire.