В шаре радиуса 15см проведено сечение, площадь которого равна 81pi см2. Найдите объём меньшего шарового сегмента, отсекаемого плоскостью сечения.

Для начала, давайте определим, что такое шаровой сегмент. Это часть шара, ограниченная плоскостью, которая пересекает шар и отсекает его часть.

Из условия задачи известно, что радиус шара $R = 15 \, \text{см}$, а площадь сечения равна $81\pi \, \text{см}^2$. Площадь сечения — это круг, и его радиус $r$ можно найти через формулу площади круга:

Отсюда $r^2 = 81$, и $r = 9 \, \text{см}$.

Теперь, чтобы найти объём меньшего сегмента, нужно использовать формулу для объёма шарового сегмента:

где $h$ — это высота сегмента (расстояние от центра шара до плоскости сечения), а $R$ — радиус шара. Высоту $h$ можно найти, зная, что расстояние от центра шара до плоскости сечения является гипотенузой прямоугольного треугольника, где один катет — это радиус шара, а второй — радиус сечения. Таким образом, можно записать:

Теперь, подставив $h = 12$ см и $R = 15$ см в формулу для объёма сегмента, получаем:

Таким образом, объём меньшего сегмента шара составляет $792\pi \, \text{см}^3$.