Докажите, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360 градусов.

Для того чтобы доказать, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360 градусам, можно использовать следующие рассуждения.

1. Определение внешнего угла: Внешним углом многоугольника называется угол, образующийся между продолжением одной из его сторон и соседней стороной этого многоугольника.

2. Сумма углов на каждой вершине: На каждой вершине выпуклого многоугольника имеется два угла — внутренний и внешний. Сумма этих углов всегда равна 180 градусам, так как они образуют линейную пару (непрямую прямую). То есть для каждой вершины выполняется равенство:

   $$\text{Внутренний угол} + \text{Внешний угол} = 180^\circ$$

3. Сумма внутренних углов многоугольника: Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника с $n$ вершинами равна:

   $$(n - 2) \times 180^\circ$$

   Это классическая формула для суммы внутренних углов многоугольника.

4. Сумма внешних углов: Теперь рассмотрим сумму всех внешних углов. Если на каждой вершине сумма внешнего и внутреннего угла равна 180 градусам, то для всего многоугольника сумма всех углов (внешних и внутренних) будет:

   $$n \times 180^\circ$$

   Однако сумма внутренних углов, как мы уже знаем, равна $(n - 2) \times 180^\circ$. Таким образом, сумма всех внешних углов будет:

   $$n \times 180^\circ - (n - 2) \times 180^\circ = 360^\circ$$

Таким образом, сумма внешних углов выпуклого многоугольника всегда равна 360 градусам, независимо от количества его сторон.