Какую цель преследовал Иван Грозный в Ливонской войне?

Коротко: главная цель Ивана IV в Ливонской войне — закрепиться на Балтике и получить собственный «выход к морю» через ливонские порты (прежде всего Нарву, а в идеале — и Ригу/Ревель), чтобы вести прямую торговлю с Европой и усилить международное положение русского царства.

Чуть подробнее по мотивам:

• Экономические. Москве нужен был свой балтийский порт, чтобы не зависеть от посредников Ливонского ордена и Литвы/Польши. Прямой экспорт хлеба, мехов, льна и ввоз оружия, пороха, металлов, соли и специалистов — это деньги и технологическое перевооружение. Захват Нарвы (1558) и превращение её в «ворота в Европу» как раз про это.

• Политико-стратегические. Контроль над побережьем и дорогами из Новгорода к морю укреплял западные рубежи, разрывал «коридор» враждебных держав (Ливония—Литва/Польша—Швеция) и создавал буфер от Пскова и Новгорода. Статус царя (с 1547) требовал и соответствующего веса — морской выход был символом «равенства» с великими державами.

• Право-наследственные/идеологические. В качестве повода Москва ссылалась на «Юрьевскую дань» и «старые русские права» на Юрьев (Дерпт/Тарту) и иные земли, когда-то связанные с Новгородом. Это давало юридическую оболочку главной — балтийской — цели.

Как это выглядело на практике: сначала удар по Ливонскому ордену ради портов и путей; после распада ордена (1561) война переросла в борьбу с более сильными противниками — Речью Посполитой и Швецией — уже за удержание балтийского плацдарма. Итог известен: по перемириям 1582–1583 Москва лишилась основных приобретений (Полотска, Нарвы) и задачи «морского выхода» тогда не решила — к ней вернулись уже при Петре I.