Почему литовские правители активно вмешивались в политические события, происходившие в русских землях?

Коротко: литовские князья вмешивались в дела русских княжеств не из «чистой политики», а потому что там сходились их безопасность, деньги, династические интересы и престиж. Подробно — по пунктам.

1. Геополитика и безопасность
   Русские земли в XIV в. были раздроблены, а юг и восток страдали от давления Золотой Орды. Для Литвы это означало постоянную угрозу у границ. Продвигаясь в Смоленск, Киев, Чернигов, Полоцк и далее, литовские правители создавали «санитарный пояс» — чем дальше фронтир, тем безопаснее центр. Параллельно они получали ресурсную базу для обороны против другого врага — Тевтонского ордена на западе.

2. Экономика и торговые пути
   Контроль над Днепровским путём, Западной Двиной и важными ярмарочными центрами давал пошлины, дань и доступ к транзиту «из варяг в греки» и в Черноморье. Київщина, Волынь, Подолье, Смоленск — это зерно, меха, воск, соль, ремёсла. Для Великого княжества Литовского, бедного на крупные города в собственно литовском ядре, подключение русских городов означало рывок в доходах и людских ресурсах.

3. Династические браки и «приглашения»
   Русские князья часто звали соседей «на стол» как арбитров и покровителей в междоусобицах. Литовские князья охотно женились на княжнах из Рюриковичей, получая законный повод вмешаться в спор за уделы. Отсюда — поддержка «своей» партии в Твери, Смоленске, Новгород-Северском и т. д. Это выглядело не как завоевание, а как восстановление «законного порядка».

4. Наследие Руси и легитимность
   Захват ключевых центров Руси (Киев — после битвы на Синих Водах, Подолье, Чернигов) давал идеологический аргумент: великокняжеская власть Литвы — не чужая для «русского мира». Недаром государственный язык канцелярии стал руським (старобелорусским/рутенским), а православная знать массово включилась в управление. Это облегчало вмешательство: местные элиты часто предпочитали литовскую «широкую автономию» прямому давлению Орды или жёсткой централизации Москвы.

5. Административная выгода
   Литовская модель интеграции была мягкой: подтверждение местных прав, сохранение судов и веры, умеренные налоги. За это — военная служба и лояльность. Такая «дешёвая империя» работала только при активной политике в русских землях: нужно было постоянно балансировать уделы, ставить наместников, менять союзников — то есть вмешиваться.

6. Соперничество с Москвой
   С усилением Москвы борьба за «старшинство» на Руси стала вопросом престижа и влияния. Походы Ольгерда на Москву, игры с тверскими и смоленскими князьями — это попытка не дать Москве монополизировать объединение русских земель. Пока Москва собирала Северо-Восток, Литва пыталась удержать и расширить «Юго-Запад и Центр».

7. Военно-людской ресурс
   Русские земли давали конницу, пехоту, опытных воевод и крепостную сеть. Для Литвы, которой приходилось воевать на два фронта (Орда и крестоносцы), это был ресурс номер один. Без постоянного вмешательства и закрепления в русских княжествах такой ресурс быстро терялся.

8. Конфессиональный фактор (прагматично, не догматично)
   Хотя верхушка Литвы долго оставалась языческой, а потом приняла католицизм, ставка на православные элиты русских земель была осознанной. Защищая православных от произвола соседей и подтверждая их права, великие князья получали лояльность и предлог выступать «защищающей стороной» в конфликтах — ещё один канал вмешательства.

Итог: активность Литвы в русских делах была рациональной стратегией развития государства «на стыке миров». Она одновременно решала задачи безопасности, давала деньги и людей, укрепляла династические позиции и позволяла конкурировать с Москвой за лидерство на посткиевском пространстве.