Как византийцы называли себя и своё государство?

Коротко: сами себя византийцы называли «ромеями» (греч. Ῥωμαῖοι, Rhōmaioi), то есть римлянами, а своё государство — «Басилéia тон Ромéон» (Βασιλεία τῶν Ῥωμαίων) — «Царство/Империя ромеев», по-нашему — Римская империя.

Подробности:

• В официальных титулатурах императоры именовались «βασιλεὺς Ῥωμαίων» — «василевс (царь) ромеев». Это формула на печатях, хрисовуллах и в дипломатии.

• В разговорном и книжном языке встречались формы «Ῥωμανία»/«Ρωμανία» — «Романия» (то есть «страна ромеев»); отсюда и позднейшее латинское Imperium Romaniae.

• Самоназвание подданного — «Ῥωμιός» (ромиос) в народной речи; в арабских и персидских источниках им соответствуют «ар-Рум» — это отражает ту же идею: они — римляне Востока.

• Слово «эллины» (Ἕλληνες) долго ассоциировалось с язычеством, поэтому как самоназвание народа употреблялось осторожно; лишь в поздневизантийскую эпоху (Комнины–Палеологи) его начали возрождать в культурном смысле — как «греки», но при этом юридически и политически они оставались «ромеями».

• Термин «Византия/византийцы» — поздний учёный ярлык (утвердился у европейских гуманистов XVI века) и внутри самой империи не использовался.

Итого: византийцы считали себя продолжателями Римской империи и называли себя «ромеями», а своё государство — «Империей ромеев» (Римской империей).