В каком году было установление республики в Риме?

Установление республики в Риме традиционно датируется 509 годом до н. э.

Именно в этом году, по римской исторической традиции, был изгнан последний царь Рима — Луций Тарквиний Гордый. После этого царская власть была отменена, а вместо царя стали ежегодно избирать двух высших должностных лиц — консулов. Так начался период Римской республики.

То есть краткий ответ: Римская республика была установлена в 509 году до нашей эры.