Что объединяет эти даты: 1500–1503, 1512–1522, 1534–1537?

Эти даты обозначают русско-литовские войны начала XVI века — вооружённые конфликты между Русским государством и Великим княжеством Литовским за пограничные территории и земли Древней Руси. Большая российская энциклопедия

1500–1503 годы — война при Иване III. Она завершилась крупным успехом Русского государства: к Москве перешли Чернигов, Брянск, Новгород-Северский, Гомель и ряд других городов и земель.

1512–1522 годы — война при Василии III. Её главным событием стало взятие Смоленска русскими войсками в 1514 году. По условиям перемирия Смоленск остался в составе Русского государства. Большая российская энциклопедия

1534–1537 годы — так называемая Стародубская война. Она началась уже после смерти Василия III, во время малолетства Ивана IV и правления его матери Елены Глинской. Великое княжество Литовское попыталось вернуть ранее утраченные земли, однако решающего успеха не добилось.

Таким образом, все три периода объединяет продолжительная борьба Москвы и Литвы за политическое объединение и контроль над западнорусскими землями. При этом список неполный: между первыми двумя указанными войнами происходила ещё одна русско-литовская война — 1507–1508 годов.