Почему Геракл оказался на службе у Эврисфея?

Короткий ответ: потому что так велел дельфийский оракул — в наказание и для очищения после преступления, совершённого в безумии, наведённом Герой. А служить он должен был именно Эврисфею, поскольку тот считался законным царём из рода Персея и, следовательно, «начальником» для Геракла по праву рождения.

Подробно по шагам:

1. Интрига Геры с рождением.
   Зевс поклялся, что тот из персеидов, кто родится в определённый день, станет владыкой Микен. Гера задержала роды Алкмены (матери Геракла) и ускорила роды у жены Сфенела, в результате первым появился на свет двоюродный родственник Геракла — Эврисфей. По этой причине именно Эврисфей стал царём (обычно — Микен/Тиринфа), а Геракл формально числился его подданным.

2. Вина Геракла и приговор оракула.
   Позже Геракл, впав в помешательство, насылаемое Герой, убил своих детей (в некоторых версиях — и жену Мегару). Чтобы искупить кровь и очиститься, он обратился к Дельфийскому оракулу Аполлона. Пифия предписала ему двенадцать лет служить царю Эврисфею и выполнять поручаемые подвиги; взамен сулились очищение и, в конечном счёте, бессмертие.

3. Что означала «служба».
   Эврисфей, как законный царь, раз за разом задавал Гераклу почти невыполнимые задания — то самое «двенадцать подвигов». Формально это была не добровольная авантюра, а именно подневольная служба вассала своему государю по воле богов и как покаяние за содеянное.

Итак, Геракл оказался на службе у Эврисфея по двум связанным причинам: из-за старшинства Эврисфея в роду (обеспеченного интригой Геры) и по требованию дельфийского оракула, назначившего Гераклу именно такую форму искупления.