Почему Лермонтов был отчислен из университета?

Коротко: формально его исключили за неуспеваемость и нарушения дисциплины; по сути — из-за систематических конфликтов с преподавателями, пропусков и нежелания «идти по программе».

Чуть подробнее. Лермонтов учился в Московском университете в 1830–1832 годах: сначала на отделении нравственных и политических наук, потом перешёл на словесное. Университетская рутина и экзаменационная система его раздражали, посещаемость была нерегулярной, на лекциях и экзаменах он позволял себе резкие выпады, из-за чего отношения с частью профессоров испортились. К весне 1832 года накопились долги по предметам; часть экзаменов он не сдал (и от некоторых фактически уклонился). По итогам сессии факультет признал его «неуспевающим» и постановил исключить.

После отчисления он попытался продолжить образование в Петербурге, но из-за несовпадения учебных планов это означало начинать курс заново, и Лермонтов в итоге выбрал военную карьеру — поступил в Школу гвардейских подпрапорщиков и кавалерийских юнкеров.