К потолку комнаты высотой 4 м прикреплено светящееся панно — лампа в виде квадрата со стороной 2 м. На вы- соте 2 м от пола параллельно ему расположен непро- зрачный квадрат со стороной 2 м. Центр панно и центр квадрата лежат на одной вертикали. Найдите суммарную площадь тени и полутени на полу.

Рассмотрим решение задачи.

1. Анализ положения объектов:

   • Светящееся панно — это квадратная лампа со стороной 2 м, расположенная на высоте 4 м от пола.
   • Непрозрачный квадрат со стороной 2 м находится параллельно полу на высоте 2 м и непосредственно под светящимся панно. Центры панно и квадрата совпадают по вертикали.

2. Понятия тени и полутени:

   • Тень на полу — это область, куда свет от панно не попадает вовсе из-за перекрытия его непрозрачным квадратом.
   • Полутень — это область, куда свет попадает частично, поскольку свет от краев панно частично обходит непрозрачный квадрат.

3. Геометрическая модель:

   • Поскольку светящееся панно и непрозрачный квадрат имеют одинаковые размеры (оба квадрата со стороной 2 м) и находятся друг над другом по одной линии, то на полу возникает область полной тени и область полутени вокруг неё.
   • Найдём радиус тени и полутени, образующихся на полу.

4. Рассчёт тени:

   • Поскольку светящееся панно и непрозрачный квадрат имеют одинаковую форму и размеры, то полная тень на полу будет представлять собой квадрат со стороной 2 м.
   • Так как расстояние между панно и непрозрачным квадратом равно 2 м, лучи от краёв панно проходят вокруг непрозрачного квадрата, образуя на полу более крупную область полутени.

5. Полутень:

   • Внешняя граница полутени формируется за счёт того, что свет от краёв панно освещает пол вокруг тени.
   • Для расчёта полутени найдем размеры проекции панно на пол.

6. Проекция панно на пол:

   • Поскольку панно находится на высоте 4 м от пола, а непрозрачный квадрат — на высоте 2 м, получаем, что свет распространяется на расстоянии от панно к полу с увеличением области по отношению 2:4, то есть в два раза.
   • Значит, на полу проекция панно будет иметь стороны, вдвое большие сторон панно, то есть 2 м * 2 = 4 м.

7. Суммарная площадь тени и полутени:

   • Площадь квадрата полной тени: $S_{\text{тень}} = 2 \times 2 = 4 \, \text{м}^2$.
   • Площадь квадрата полутени (внешняя проекция) с учётом полной тени:
     • Площадь всего большого квадрата (проекция панно на полу): $S_{\text{внешний квадрат}} = 4 \times 4 = 16 \, \text{м}^2$.
     • Полутень образуется за пределами тени, то есть её площадь равна разнице между общей проекцией и площадью тени: $$S_{\text{полутень}} = S_{\text{внешний квадрат}} - S_{\text{тень}} = 16 - 4 = 12 \, \text{м}^2.$$

8. Ответ:

   • Суммарная площадь тени и полутени на полу составляет $16 \, \text{м}^2$.