Как звали главного героя в повести "Белые ночи"? Автор зовет его мечтателем, но есть ли там имя?

Нет, в самой повести имени у главного героя нет.

Достоевский сознательно оставляет его безымянным: рассказ ведется от первого лица, и автор называет его просто Мечтателем. Это не случайный пропуск, а художественный прием. Герой здесь важен не как конкретный человек с биографией и паспортным именем, а как особый психологический тип — одинокий, впечатлительный, живущий больше в фантазиях, чем в реальной жизни.

Поэтому правильный ответ такой:
в “Белых ночах” главный герой не назван по имени, он безымянный рассказчик, которого автор обозначает как Мечтателя.

Именно из-за этого в разборе произведения обычно пишут не “Иван”, “Петр” или как-то еще, а просто Мечтатель. Это фактически его условное “имя” внутри текста.