Как пишется: "лучшем" или "лучшим"?

Правильный вариант — "лучшим".

Это слово является формой творительного падежа от прилагательного "лучший". Творительный падеж используется, чтобы показать средство, способ действия или обозначить, с чем/кем что-то связано. Например: "Он стал лучшим спортсменом года" или "Победил лучшим временем".

Форма "лучшем" — это ошибка, так как в русском языке такой формы нет.