Как правильно говорить: "Я побежду" или "Я побежу"?

Правильная форма — "Я побежу".

Глагол "побежду" является некорректной формой. В русском языке для выражения будущего времени с глаголами первого спряжения (такими как "победить") в первой личности единственного числа используется форма "побежу". Это правило касается всех глаголов, оканчивающихся на -ить, которые в будущем времени получают окончание -у, например: "пойду", "сделаю", "открою" и так далее.

Таким образом, правильно будет сказать: "Я побежу", что означает, что в будущем я одержу победу.