падеж по тропинке

Слово «тропинке» стоит в предложном падеже.

Разберём подробнее:

Именительный падеж (кто? что?): тропинка
Родительный падеж (кого? чего?): тропинки
Дательный падеж (кому? чему?): тропинке
Винительный падеж (кого? что?): тропинку
Творительный падеж (кем? чем?): тропинкой
Предложный падеж (о ком? о чём?): о тропинке

Фраза «по тропинке» требует уточнения. Несмотря на то что вопрос "по чему?" может звучать как вопрос дательного падежа, в русском языке предлог «по» управляет предложным падежом в таких случаях, особенно когда речь идёт о движении по поверхности.

Примеры:
– Он шёл по тропинке.
– Прогулка по набережной.
– Бежал по дороге.

Таким образом, слово «тропинке» в выражении «по тропинке» стоит в предложном падеже.