Как пишется слово "отчество" или "очество"?

Правильное написание — «отчество».

Слово образовано от слова «отец» с помощью суффикса -ств-, обозначающего принадлежность или родство. «Отчество» — это часть полного имени человека, образованная от имени отца, например: Иван Иванович, Анна Петровна.

Ошибочная форма «очество» возникает из-за того, что в разговорной речи звук т часто не проговаривается чётко, особенно в быстром или небрежном произношении. Но в письменной форме это считается орфографической ошибкой.

Поэтому правильно: отчество — с буквой т.