По слогам: по-пу-гай и по-пу-га-и.

В слове "попугай" правильное деление на слоги — по-пу-га-й. Это слово состоит из четырёх слогов, и в русском языке оно обычно делится именно так.

Что касается варианта "по-пу-га-и", то это неверное деление. Такое деление на слоги не соответствует правилам русского языка.