Как правильно: гладить или гладеть?

Правильный вариант — "гладить". Это форма глагола в инфинитиве (начальная форма), которая означает действие, например, "гладить бельё", "гладить кошку".

"Гладеть" — это неправильная форма, и она не используется в русском языке.

Так что, если ты хочешь сказать, что кто-то выполняет действие, связанное с разглаживанием чего-то, правильная форма будет "гладить".