Какой падеж в слове "берегу"? На её берегу растёт плакучая ива.

Слово "берегу" в данном контексте является формой первого лица единственного числа глагола "беречь" в настоящем времени, а не существительным. Глаголы не склоняются по падежам, поэтому нельзя говорить о падеже в слове "берегу".

Если же мы рассматриваем слово "берег" в предложении "На её берегу растёт плакучая ива", то здесь слово "берег" стоит в предложном падеже. В предложном падеже употребляются предлоги "на", "в", "о", "при", и в данном случае предлог "на" требует использования предложного падежа.