Сколько грамматических основ в простом предложении и сколько их может быть в сложном? Докажите на примерах.

В простом предложении может быть одна или несколько грамматических основ, но при этом оно всё равно считается простым, если в нём нет грамматически самостоятельных частей, как в сложном предложении.
Грамматическая основа — это подлежащее и сказуемое.

Пример простого предложения с одной грамматической основой:

Солнце светит.

• Подлежащее: солнце

• Сказуемое: светит
  → Одна грамматическая основа.

Пример простого предложения с двумя грамматическими основами:

Солнце светит, и птицы поют.

• 1-я основа: солнце светит

• 2-я основа: птицы поют
  → Несмотря на две основы, это предложение сложносочинённое, а не простое. Почему? Потому что части предложения соединены союзом "и", и каждая часть могла бы быть самостоятельным предложением. Значит, это уже сложное предложение.

Теперь пример действительно простого предложения с двумя основами, но без разделения на части:

Дети играют и смеются.

• Подлежащее: дети

• Сказуемые: играют, смеются
  → Здесь одна грамматическая основа: дети (кто?) играют и смеются (что делают?).
  Это простое предложение с одной грамматической основой, но с двумя сказуемыми.

Пример простого предложения с двумя грамматическими основами:

Погода хорошая, день солнечный.

• Первая основа: погода хорошая

• Вторая основа: день солнечный
  → Предложение считается простым, потому что эти части не являются самостоятельными, нет союза, нет подчинения. Это бессоюзное простое предложение с двумя основами.

А вот в сложном предложении всегда две или более грамматических основ, причём части сложного предложения могут быть связаны союзами или бессоюзно, и каждая из частей может быть самостоятельным предложением.

Пример сложного предложения:

Я вышел на улицу, и начался дождь.

• 1-я основа: я вышел

• 2-я основа: дождь начался
  → Две грамматические основы, части соединены союзом "и", каждая часть — самостоятельное предложение. Это сложносочинённое предложение.

Итог:

• В простом предложении может быть одна или несколько грамматических основ, но они не образуют самостоятельные части.

• В сложном предложении всегда две и более грамматических основ, и они объединяют самостоятельные части (придаточные или равноправные).