Какова роль союза "и" в предложении - И придумал.

Это обычный сочинительный соединительный союз, но здесь он стоит в начале реплики и работает межфразово: не соединяет члены внутри самого предложения, а прикрепляет его к предыдущему контексту. По смыслу такое начальное «и» часто равно «и тогда / и тут / и наконец»: создаёт эффект продолжения/итога рассказа — «Долго ломал голову. И придумал».

Пара замечаний к вашему примеру:

• «И придумал.» — это неполное предложение: сказуемое есть, подлежащее («он/я») опущено и восстанавливается из контекста. Союз «и» не соединяет части внутри него, а только связывает с предыдущей фразой.

• Начальное «и» стилистически уместно в разговорной и художественной речи: задаёт динамику, приём «шаг за шагом».

• Дефис в записи «— И придумал.» — это не про союз, а стандартная отметка новой реплики в диалоге.

Итог: роль «и» — сочинительный союз с присоединительным (контекстно-связывающим) значением, передающий продолжение/результат: «и тогда придумал».