Наречие имеет краткую форму?

Короткий ответ: нет, у наречий «краткой формы» не бывает. Краткая/полная форма — это свойство прилагательных (и причастий): тихий — тиха — тихо — тихи и т. п. Наречия же неизменяемы и по «краткости/полноте» не различаются.

Почему часто путают
Слова на -о вроде тихо, светло, грустно могут выполнять разные роли — отсюда и путаница:

• Наречие: обозначает признак действия/признака.
  Говорит тихо (как говорит? — тихо). Здесь это именно наречие; никакой «краткой формы» у него нет.

• Краткое прилагательное (сказуемое): признак предмета, согласуется (хотя формы совпадают).
  Море тихо (каково море? — тихо). Это краткая форма прилагательного тихий (ср. р.), а не наречие.

• Слова категории состояния (безличные сказуемые):
  Мне грустно, на улице светло. В школьной традиции их выделяют отдельно; по сути это не «краткие наречия», а особый тип слов/форм, близкий к предикативам.

Что у наречий есть вместо «краткости»
У наречий бывают степени сравнения: быстро — быстрее — (самое) быстро / быстрее всего. Но это другое грамматическое явление и к «краткой форме» не относится.

Итого: если слово относится к глаголу (как делает?), это наречие — и никаких кратких/полных форм у него нет. Если слово выступает сказуемым и отвечает на каков, какова, каково?, это уже не наречие, а краткая форма прилагательного или слово категории состояния.